By P Dolbeault
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Example text
2. Theoreme. - Dans les notations ci-dessus, pour toute I-forme differentielle w, C\ de type (0, 1), a support compact dans ,1, if existe une fonction g CI sur ,1 telle que d" g = W. Soit w=fdz ou fest c l a support compact dans ,1 ; pour I zE,1, on pose g(z)=-. --d(l\d( et w=(-z ; f(z+w) etant CI en z et 2m (-z a support compact en w, par derivation sous Ie signe on a : DEMONSTRATION. 1 (ofloz)(O (-z d(l\d~ d" g(z) = (ogloz)(z) dz = fez) dz = w. 0 d(l\d~. 3. Corollaire. - Soit D un ouvert de C, pour to ute I-forme differentielle ck, de type (0, 1), co =/dz, a support compact dans D, it existe une /onction g C k sur D te/le que d" g=co.
Izi pour tout zEB(O, 1) ; 2) si, pour zoEB(O,I),,{O}, on a I/(zo)I=lzol, alors I(Z)=AZ avec Me IAI=I. DEMONSTRATION. 4) 1 f(zz) ~ 1~ rI pour Izl = r. ;;;; 1. mum en Si pour z oEB(O,l),,{O}, on a : Zo ; d'apres Ie principe du maximum, lexe de module I. Remarque. d, d'apres 1). ;;; I en 49 DEVELOPPEMENT EN SERlE DE LAURENT 4. 1. 1. Soient h(Z)= L anz" une serie entiere convergente dans B(O, (h), O«h< n"'O <+= g(O= L bn,n une serie convergente dans B(O, 122"1), 0"';;122< +=. l' 122) ; la convergence est normale dans C(r1, r2) comme ci-dessus.
Reste Z it montrer I'unicite de Ia decomposition compte tenu de Ia derniere condition ; si (1:,/;) est un autre couple alors fl-f: =f; -j; dans C(el, (2) ; iI existe une fonction holomorphe g dans C telle que gIB(O, Ql)=h-f: et gICB(O, (2)=f; -f2 et 1 g(z)-O avec - ; d'apres Ie theoreme de Liouville, g=O. 3. 1. 3) n Soit M(r)= sup If(re iO ) I ; J I 2lt , 0 '0 = -rnI -2n ° e- f(re' ) d8. 4) lanl o§ y-n M(r); nEZ. galites de Cauchy. 2. On appelle C(e, O)=B(O, e)~{O} Ie disque epointe de rayon e et on Ie notera B*(O, e).
