By Dietlinde Lau

Band 1 Grundbegriffe der Mathematik, Algebraische Strukturen 1, Lineare Algebra und Analytische Geometrie, Numerische Algebra. Band 2 Lineare Optimierung, Graphen und Algorithmen, Algebraische Strukturen und Allgemeine Algebra mit Anwendungen

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A11 a12 a13 a14 . . a21 a22 a23 a24 . . a31 a32 a33 a34 . . . (∀i, j ∈ N : aij ∈ {0, 1, 2, . . an1 an2 an3 . , n ∈ N. Wenn wir zeigen k¨ alle x ∈ (0, 1) angeordnet haben) mindestens eine reelle Zahl y ∈ (0, 1) in der Aufz¨ ahlung nicht enthalten ist, h¨ atten wir einen Widerspruch zur Annahme und unsere Behauptung w¨ are bewiesen. B. y1 y2 y3 y4 . . , wobei yi := 0 1 falls aii = 0, (i ∈ N) sonst. Die Zahl y ist von 0 verschieden, da die Zahlen 0, a0000... , 9} ur in der oben angegebenen Aufz¨ ahlung vorkommen m¨ ussen, womit yi = 1 f¨ gewisse i gilt.

B. yz u ussig ist. Wir erhalten zum Abschluß unseres ¨ berfl¨ Verfahrens damit die folgende minimale DNF: f (x, y, z) = xy ∨ x y ∨ x z. Es sei noch bemerkt, daß man sich die obige verk¨ urzte Darstellung sowie einige andere M¨ oglichkeiten anhand folgender geometrischen Darstellung der dreistelligen Funktion f u ¨berlegen kann: urfels wie unten angegeben Man deute die Tupel (x, y, z) ∈ {0, 1}3 als Ecken eines W¨ und kennzeichne diejenigen Ecken, die zu den Tupeln geh¨ oren, auf denen f den Wert 1 annimmt: xy (1,1,1) t ❅ ✚✚❩❩ ❅ ❘ ❅ ✚ ❩ ❩ (0,1,1) (1,1,0) ✚ ❩q t✚ q ✚ ✚❩ ❩❩ ✚ (1,0,1) ❩ ✚ ✚ ❩ ❩ ✚ ✚✒❩ q✚ t✚✚ ❩❩t ❩ (0,1,0) ✚ (0,0,1) (1,0,0) ❩❩ ✚ yz ❩ ■ ✒ ✚✚❅ ❩ ❩ t ❅ xy ✚ x z (0,0,0) Man sieht nun leicht, daß Konjuktionen der Form ua (u ∈ {x, y, z}) Seitenfl¨ achen, Konjunktionen der Form ua v b (u, v ∈ {x, y, z}) Seitenkanten und Konjunktionen urfels charakterisieren.

Kontravalenz: A + B ( entweder A oder B“). ” A + B ist genau dann wahr, wenn entweder A oder B wahr ist. 38 • • 1 Mathematische Grundbegriffe ¨ Aquivalenz: A ⇐⇒ B ( A genau dann, wenn B“). ” A ⇐⇒ B ist genau dann wahr, wenn A und B denselben Wahrheitswert haben. Implikation: A =⇒ B ( Aus A folgt B“; Wenn A, so B“). ” ” A =⇒ B ist genau dann falsch, wenn A den Wert 1 und B den Wert 0 annimmt. A =⇒ B ist also immer wahr, wenn A falsch ist. “ als sinnlos ansieht. Da wir jedoch vom konkreten Inhalt der Aussagen A, B abstrahieren, sind auch Festlegungen f¨ ur 0 =⇒ 0 und 0 =⇒ 1 zu treffen.

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