By Mladen Victor Wickerhauser

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Example text

Man schreibt f¨ ur das n-fache Produkt A × A × ... × A einer Menge A oft auch abk¨ urzend An . Ist R die Menge der reellen Zahlen, so ist z. B. R3 die Menge aller reellen 3-Tupel (die als Punkte“ im 3-dimensionalen Raum veranschaulicht werden ” k¨ onnen). 39 Eine Abbildung oder Funktion f von einer Menge D in eine Menge M ist eine Vorschrift, die jedem Element x ∈ D genau ein Element f (x) ∈ M zuordnet. Man schreibt daf¨ ur kurz: f : D → M , x → f (x) und sagt: x wird auf ” f (x) abgebildet“. 40 Abbildungen a) Die Abbildung f : N → N mit n → n2 ordnet jeder nat¨ urlichen Zahl ihr Quadrat zu.

Im antiken Griechenland waren jedenfalls dieser Ansicht. Insbesondere waren sie davon u ¨berzeugt, dass es eine rationale Zahl geben muss, deren Quadrat gleich 2 ist: Zeichnen wir ein Quadrat mit der Seitenl¨ ange 1. 1). Gibt es eine rationale Zahl d, deren Quadrat gleich 2 ist? 1. Quadrat mit Seitenl¨ ange 1 l¨ asst sich d auf jeden Fall nicht angeben. Es bleibt uns daher nichts anderes u ¨brig, als systematisch nach Werten f¨ ur p und q mit ( pq )2 = 2 zu suchen. Beginnen wir mit q = 2 und probieren der Reihe nach Werte f¨ ur p durch.

Gibt es eine rationale Zahl d, deren Quadrat gleich 2 ist? 1. Quadrat mit Seitenl¨ ange 1 l¨ asst sich d auf jeden Fall nicht angeben. Es bleibt uns daher nichts anderes u ¨brig, als systematisch nach Werten f¨ ur p und q mit ( pq )2 = 2 zu suchen. Beginnen wir mit q = 2 und probieren der Reihe nach Werte f¨ ur p durch. Da d ≥ 1 ist, kommen nur Werte p = 2, 3, . . in Frage. 5) 1 < d. Mit p = 3 folgt ( 32 )2 = 94 > 2 = d2 und deshalb d < 32 . Alle weiteren Werte p = 4, 5, . . liefern nur noch gr¨oßere Zahlen und q = 2 ist damit aus dem Rennen.

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