By Oliver Deiser, Caroline Lasser, Elmar Vogt, Dirk Werner

Wie ist ein Ring definiert, wann kann guy Grenzprozesse vertauschen, was once sind lineare Ordnungen und wozu benötigt guy das Zornsche Lemma in der Linearen Algebra?

Das Buch will seinen Lesern helfen, sich in der Fülle der grundlegenden mathematischen Definitionen zurecht zu finden und exemplarische mathematische Ergebnisse einordnen und ihre Eigenheiten verstehen zu können. Es behandelt hierzu je zwölf Schlüsselkonzepte der folgenden zwölf Themengebiete der Mathematik:

  • Grundlagen
  • Zahlen
  • Zahlentheorie
  • Diskrete Mathematik
  • Lineare Algebra
  • Algebra
  • Elementare Analysis
  • Höhere research
  • Topologie und Geometrie
  • Numerik
  • Stochastik
  • Mengenlehre und Logik
  • Ein besonderes Augenmerk liegt auf einer knappen und präzisen, dabei aber nicht zu formalen Darstellung. Dadurch erlauben die einzelnen Beiträge ein fokussiertes Nachlesen ebenso wie ein neugieriges Kennenlernen.

    Das Buch ist geschrieben für Studierende der Mathematik ab dem ersten Semester und möchte ein treuer Begleiter und eine zuverlässige Orientierungshilfe für das gesamte Studium sein.

    Die 2. Auflage ist vollständig durchgesehen und um Literaturangaben ergänzt.

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    Example text

    Wir werden seinem Namen erneut in Abschn. ) Durch diesen Erfolg angetrieben, beschäftigte er sich jahrelang mit dem Problem, die Multiplikation von C D R2 auf R3 auf „vernünftige Weise“ fortzusetzen – ohne Erfolg. Dass das in der Tat unmöglich ist, kann man heute mit ein wenig linearer Algebra leicht einsehen. u; v/ 7! uv mit einem Einselement e, könnte man die lineare Abbildung Lu W v 7! uv betrachten; die Linearität ergibt sich aus dem Distributivgesetz, das man von einer „vernünftigen“ Multiplikation auf dem Vektorraum R3 verlangen sollte.

    Ebenso ist R D A2 eine Äquivalenzrelation auf A – diese Abschwächung der Identität ist vollkommen blind, je zwei Elemente von A gelten hier als äquivalent. Interessanter ist das Rechnen auf den ganzen Zahlen modulo einer natürlichem Zahl m 1. Wir setzen für alle a; b 2 Z: a Ám b, falls ein k 2 Z existiert mit a b D k m, falls also a und b bei Division durch m denselben ganzzahligen Rest ergeben. Man zeigt leicht, dass Ám eine Äquivalenzrelation auf Z ist. Gilt a Ám b, so heißen a und b auch äquivalent modulo m.

    Auch im rechnerischen Umgang mit reellen Zahlen sind rationale Approximationen von großer Bedeutung. 1 C x/ D x x 2 =2 C x 3 =3 ˙ , jxj < 1, die für rationale x rationale Approximationen von oftmals irrationalen Funktionswerten liefern. Aber es sind vor allem die Dezimaldarstellungen und ihre Verwandten, die sich im Alltag und im wissenschaftlichen Rechnen als Standard bewährt haben. Die Idee der Dezimaldarstellung ist, das reelle Intervall Œ0; 1 wiederholt in je 10 gleich lange Teilintervalle zu zerlegen.

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